Matematică · Clasa a VI-a · Triunghiul

Mediana în triunghiul dreptunghic: teorema medianei și exerciții rezolvate (clasa a VI-a)

Q: Cât este mediana dusă pe ipotenuză?

Exact jumătate din ipotenuză: AM = BC / 2.

Q: Cât este raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic?

Jumătate din ipotenuză: R = BC / 2. Este egală cu mediana dusă din vârful unghiului drept.

Echipa SuperȘcoala · materie predată pe video de Asist. univ. dr. Liliana Mitre Actualizat: 22 octombrie 2026 · 3 min de citit

Pe scurt

Teorema medianei spune că, într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză: $AM=\tfrac{BC}{2}$ . Mai jos vezi de ce este adevărat, cu ajutorul cercului circumscris, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas.

AM=\frac{BC}{2}

Vezi lecția video „Triunghiuri particulare - triunghiul dreptunghic - Teorema lui Pitagora” pe SuperȘcoala →

Mediana în triunghiul dreptunghic: teorema medianei și exerciții rezolvate (clasa a VI-a)

8 exerciții rezolvateușor, mediu, greu Lecția completăvideo, fișă de lucru și rezolvări Test rapid5 întrebări cu răspuns

Ce spune teorema medianei și de ce este adevărată

AM=MB=MC=R

Enunțul teoremei

Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept (mediana care cade pe ipotenuză) este jumătate din ipotenuză. Pentru triunghiul $ABC$ cu unghiul drept în $A$ și $M$ mijlocul ipotenuzei $BC$ :

m(\angle A)=90^\circ,\ M \text{ mijlocul lui } BC \;\Rightarrow\; AM=\frac{BC}{2}

Pentru că $M$ este mijlocul lui $BC$ , avem și $MB=MC=\tfrac{BC}{2}$ . Deci cele trei segmente sunt egale: $AM=MB=MC$ .

De ce este adevărat?

Desenăm cercul circumscris triunghiului (cercul care trece prin $A$ , $B$ și $C$ ). Unghiul drept $A$ este un unghi înscris în cerc care „vede” arcul $BC$ , deci arcul are dublul măsurii lui:

m(\overset{\frown}{BC}) = 2\cdot 90^\circ = 180^\circ

Un arc de $180^\circ$ este un semicerc, așa că $BC$ este diametrul cercului, iar mijlocul $M$ este centrul lui. Segmentele $MA$ , $MB$ și $MC$ unesc centrul cu puncte de pe cerc, deci sunt raze și sunt egale:

AM = MB = MC = R = \frac{BC}{2}

unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului dreptunghic.

Cum folosești teorema

Știi ipotenuza → afli mediana

AM=\frac{BC}{2}

Știi mediana → afli ipotenuza

BC=2\cdot AM

Știi cateteleAfli întâi ipotenuza cu teorema lui Pitagora, apoi îi iei jumătatea. De exemplu, pentru catetele

6

și

8

BC^2=36+64=100=10^2 \Rightarrow BC=10 \Rightarrow AM=5

Lecția video

Lecția „Triunghiuri particulare - triunghiul dreptunghic - Teorema lui Pitagora”, predată de Asist. univ. dr. Liliana Mitre.

2:55 · YouTube

Fișa de lucru și rezolvările sunt pe pagina lecției de pe SuperȘcoala.

Exerciții rezolvate: mediana în triunghiul dreptunghic

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1ușor

Mediana din ipotenuză

În triunghiul dreptunghic $ABC$ , $m(\angle A)=90^\circ$ și $BC=16\text{ cm}$ . Aflați mediana $AM$ .

Rezolvare pas cu pas

$AM$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei.
$AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{16}{2}=8\text{ cm}$ .

Răspuns $AM=8\text{ cm}$

Exercițiul 2ușor

Ipotenuza din mediană

Mediana dusă din vârful unghiului drept are $6{,}5\text{ cm}$ . Cât este ipotenuza?

Rezolvare pas cu pas

$BC=2\cdot AM=2\cdot 6{,}5=13\text{ cm}$ .

Răspuns $13\text{ cm}$

Exercițiul 3ușor

Raza cercului circumscris

Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are $22\text{ cm}$ . Aflați raza cercului circumscris triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Ipotenuza este diametrul cercului circumscris.
$R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{22}{2}=11\text{ cm}$ .

Răspuns $R=11\text{ cm}$

Exercițiul 4mediu

Pitagora și mediana

Catetele unui triunghi dreptunghic au $6\text{ cm}$ și $8\text{ cm}$ . Aflați mediana corespunzătoare ipotenuzei.

Rezolvare pas cu pas

Teorema lui Pitagora: $BC^2=6^2+8^2=100=10^2$ , deci $BC=10\text{ cm}$ .
Teorema medianei: $AM=\dfrac{10}{2}=5\text{ cm}$ .

Răspuns $AM=5\text{ cm}$

Exercițiul 5mediu

Rezultat cu virgulă

Catetele unui triunghi dreptunghic au $5\text{ cm}$ și $12\text{ cm}$ . Aflați mediana dusă din vârful unghiului drept.

Rezolvare pas cu pas

$BC^2=25+144=169=13^2$ , deci $BC=13\text{ cm}$ .
$AM=\dfrac{13}{2}=6{,}5\text{ cm}$ .

Răspuns $AM=6{,}5\text{ cm}$

Exercițiul 6mediu

De la mediană la catetă

În triunghiul $ABC$ , $m(\angle A)=90^\circ$ , mediana $AM=10\text{ cm}$ și $AB=12\text{ cm}$ . Aflați $AC$ .

Rezolvare pas cu pas

Teorema medianei: $BC=2\cdot AM=20\text{ cm}$ .
Teorema lui Pitagora: $AC^2=BC^2-AB^2=400-144=256$ .
$256=16^2$ , deci $AC=16\text{ cm}$ .

Răspuns $AC=16\text{ cm}$

Exercițiul 7greu

Mediana și unghiul de 30°

În triunghiul $ABC$ , $m(\angle A)=90^\circ$ , $m(\angle C)=30^\circ$ și $AB=5\text{ cm}$ . Fie $M$ mijlocul lui $BC$ . Aflați $BC$ , $AM$ și $MB$ .

Rezolvare pas cu pas

Teorema unghiului de 30°: $AB$ se opune unghiului de $30^\circ$ , deci $BC=2\cdot AB=10\text{ cm}$ .
Teorema medianei: $AM=\dfrac{BC}{2}=5\text{ cm}$ .
$M$ este mijlocul lui $BC$ : $MB=5\text{ cm}$ . Observăm că $AB=AM=MB=5\text{ cm}$ .

Răspuns $BC=10\text{ cm},\ AM=MB=5\text{ cm}$

Exercițiul 8greu

Cercul circumscris

Un triunghi dreptunghic are catetele de $9\text{ cm}$ și $12\text{ cm}$ . Aflați diametrul și raza cercului circumscris, precum și mediana dusă din vârful unghiului drept.

Rezolvare pas cu pas

Ipotenuza: $BC^2=81+144=225=15^2$ , deci $BC=15\text{ cm}$ .
Ipotenuza este diametrul cercului circumscris: $d=15\text{ cm}$ .
Raza și mediana sunt egale cu jumătate din ipotenuză: $R=AM=\dfrac{15}{2}=7{,}5\text{ cm}$ .

Răspuns $d=15\text{ cm},\ R=AM=7{,}5\text{ cm}$

Vrei și mai multe exerciții? Pe pagina lecției de pe SuperȘcoala găsești fișa de lucru cu rezolvări și testele lecției.

Cum recunoști un exercițiu cu mediana în triunghiul dreptunghic

Triunghiul este dreptunghic și apare mijlocul ipotenuzei sau mediana dusă din unghiul drept.
Se cere raza sau diametrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic.
Se cunoaște mediana corespunzătoare ipotenuzei și se cere ipotenuza (sau invers).

Greșeli frecvente

Aplici teorema pentru o mediană dusă din alt vârf.

✓

Doar mediana dusă din vârful unghiului drept (cea care cade pe ipotenuză) este jumătate din ipotenuză.

Aplici teorema într-un triunghi oarecare.

✓

Proprietatea este valabilă doar în triunghiul dreptunghic.

Confunzi raza cu diametrul.

✓

Ipotenuza este diametrul; raza este jumătate din ipotenuză: $R=\tfrac{BC}{2}$ .

Din aceeași lecție

ArticolTeorema lui PitagoraFormulă, explicație și 8 exerciții rezolvate ArticolTeorema unghiului de 30°Explicație și 8 exerciții rezolvate LecțieLecția video completăTriunghiuri particulare - triunghiul dreptunghic - Teorema lui Pitagora

Întrebări frecvente despre mediana în triunghiul dreptunghic

Cât este mediana dusă pe ipotenuză?

Exact jumătate din ipotenuză:

AM=\dfrac{BC}{2}

De ce mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză?

Pentru că ipotenuza este diametrul cercului circumscris, iar mijlocul ei este centrul cercului. Mediana unește centrul cu un punct de pe cerc, deci este o rază, adică jumătate din diametru.

Cât este raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic?

Jumătate din ipotenuză:

R=\dfrac{BC}{2}

. Este egală cu mediana dusă din vârful unghiului drept.

Teorema medianei este valabilă în orice triunghi?

Nu. Proprietatea că mediana este jumătate din latura pe care cade este specifică triunghiului dreptunghic și medianei duse din vârful unghiului drept.

În ce clasă se învață teorema medianei în triunghiul dreptunghic?

În clasa a VI-a, la capitolul „Triunghiul”, împreună cu teorema lui Pitagora și teorema unghiului de 30°.

Verifică-te: 5 întrebări

1. Ipotenuza are $14$ . Mediana dusă din unghiul drept este:

a) 14b) 28c) 7

Vezi răspunsul

c) 7. $\tfrac{14}{2}=7$ .

2. Mediana dusă din unghiul drept are $9$ . Ipotenuza este:

a) 18b) 4,5c) 9

Vezi răspunsul

a) 18. $2\cdot 9=18$ .

3. Catetele au $6$ și $8$ . Mediana pe ipotenuză este:

a) 10b) 5c) 7

Vezi răspunsul

b) 5. $BC=10$ , deci $AM=5$ .

4. Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este:

a) vârful unghiului dreptb) mijlocul ipotenuzeic) mijlocul unei catete

Vezi răspunsul

b) mijlocul ipotenuzei. Ipotenuza este diametru, deci mijlocul ei este centrul cercului.

5. Ipotenuza are $20$ . Raza cercului circumscris este:

a) 20b) 40c) 10

Vezi răspunsul

c) 10. $R=\tfrac{20}{2}=10$ .

Despre acest articol

Articol scris de echipa SuperȘcoala pe baza lecției video „Triunghiuri particulare - triunghiul dreptunghic - Teorema lui Pitagora” din programa de matematică pentru clasa a VI-a, predată de Asist. univ. dr. Liliana Mitre. Ultima actualizare: 22 octombrie 2026.

Materia școlară, explicată simplu

prin lecții video, fișe de lucru, teste și jocuri interactive.

Înscrie-te acum