În triunghiul dreptunghic ABC cu m(∠B) = 90°, aflați latura necunoscută: a) AB = 3 cm, BC = 4 cm, AC = ?; b) AB = 6 cm, AC = 10 cm, BC = ?; c) BC = 12 cm, AC = 13 cm, AB = ?; d) AC = 20 cm, BC = 16 cm, AB = ?

Unghiul drept este în B, deci catetele sunt AB și BC, iar ipotenuza este AC. a) AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², deci AC = 5 cm. b) BC² = AC² − AB² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 = 8², deci BC = 8 cm. c) AB² = AC² − BC² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25 = 5², deci AB = 5 cm. d) AB² = AC² − BC² = 20² − 16² = 400 − 256 = 144 = 12², deci AB = 12 cm.

Triunghi dreptunghic și Teorema lui Pitagora – explicație detaliată

Noțiuni de bază

Ce este un triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic are un unghi de 90° (unghi drept). În triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=90^\circ$ :

Catetele

cele două laturi care formează unghiul drept

AB

și

AC

Ipotenuza

latura opusă unghiului drept; este mereu cea mai lungă latură

BC

Teorema 1

Teorema lui Pitagora: enunț și formulă

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

m(\angle A)=90^\circ \;\Rightarrow\; BC^2 = AB^2 + AC^2

$AB,\ AC$ — catetele (formează unghiul drept)
$BC$ — ipotenuza (opusă unghiului drept)

Cum o folosești

Știi ambele catete → afli ipotenuzaCalculezi $BC^2=AB^2+AC^2$ , apoi cauți numărul care, ridicat la pătrat, dă rezultatul. Exemplu: $BC^2=25$ și $25=5^2$ , deci $BC=5$ .
Știi ipotenuza și o catetă → afli cealaltă catetăScazi: $AB^2=BC^2-AC^2$ , apoi cauți numărul care, ridicat la pătrat, dă rezultatul. Exemplu: $AB^2=64$ și $64=8^2$ , deci $AB=8$ .

Reciproca teoremei lui Pitagora: dacă într-un triunghi $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $A$ . O folosești ca să verifici dacă un triunghi e dreptunghic.

AB^2+AC^2=BC^2

ArticolTeorema lui Pitagora: formulă, explicație și exercițiiTeoria pe larg și 8 exerciții rezolvate, de la ușor la greu

Triplete pitagoreice de reținut

Numere întregi care verifică $a^2+b^2=c^2$ . Dacă le recunoști, nu mai calculezi. Orice multiplu al lor funcționează și el: din $3,4,5$ obții $6,8,10$ sau $9,12,15$ .

3 · 4 · 5

9+16=25

5 · 12 · 13

25+144=169

8 · 15 · 17

64+225=289

7 · 24 · 25

49+576=625

20 · 21 · 29

400+441=841

Teorema 2

Teorema unghiului de 30° (cateta opusă unghiului de 30°)

Într-un triunghi dreptunghic, cateta care se opune unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.

m(\angle A)=90^\circ,\ m(\angle C)=30^\circ \;\Rightarrow\; AB=\frac{BC}{2}

Cu alte cuvinte, ipotenuza este dublul catetei opuse unghiului de 30°: $BC = 2\cdot AB$ .

AB=\tfrac{BC}{2}

ArticolTeorema unghiului de 30°: cateta opusă, exerciții rezolvateExplicație și 8 exerciții rezolvate, de la ușor la greu

Teorema 3

Teorema medianei în triunghiul dreptunghic

Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.

m(\angle A)=90^\circ,\ M \text{ mijlocul lui } BC \;\Rightarrow\; AM=\frac{BC}{2}

De ce este adevărat?

Unghiul drept $A$ este un unghi înscris în cerc care „vede” arcul $BC$ , deci $m(\overset{\frown}{BC}) = 2\cdot 90^\circ = 180^\circ$ . Așadar $BC$ este diametrul cercului circumscris, iar mijlocul $M$ este centrul cercului. Segmentele $MA,\ MB,\ MC$ sunt raze, deci sunt egale:

AM = MB = MC = R = \frac{BC}{2}

AM=MB=MC=R

ArticolMediana în triunghiul dreptunghic: teoremă și exercițiiDe ce e adevărată și 8 exerciții rezolvate

Exercițiu din fișa de lucru

Exercițiu rezolvat pas cu pas

Enunț

În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle B)=90^\circ$ , aflați latura necunoscută în cazurile următoare.

ase cere

AC

Date: $AB=3\text{ cm},\ BC=4\text{ cm}$
Calcul: $AC^2=3^2+4^2=9+16=25$

AC=5\text{ cm}

bse cere

BC

Date: $AB=6\text{ cm},\ AC=10\text{ cm}$
Calcul: $BC^2=10^2-6^2=100-36=64$

BC=8\text{ cm}

cse cere

AB

Date: $BC=12\text{ cm},\ AC=13\text{ cm}$
Calcul: $AB^2=13^2-12^2=169-144=25$

AB=5\text{ cm}

dse cere

AB

Date: $AC=20\text{ cm},\ BC=16\text{ cm}$
Calcul: $AB^2=20^2-16^2=400-256=144$

AB=12\text{ cm}

Rezolvarea completă la punctul a)

Unghiul drept este în $B$ , deci catetele sunt $AB$ și $BC$ , iar ipotenuza este $AC$ .
Scriem teorema lui Pitagora: $AC^2 = AB^2 + BC^2$
Înlocuim valorile: $AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
Căutăm numărul care, ridicat la pătrat, dă $25$ . Știm că $5^2=25$ , deci: $AC=5\text{ cm}$

La b), c) și d) se cere o catetă, așa că scădem: $\text{catetă}^2 = \text{ipotenuză}^2 - \text{cealaltă catetă}^2$ .

Instrument

Calculator: teorema lui Pitagora

Ce vrei să afli?

Scrie lungimile celor două catete.

Prima catetă

cm

A doua catetă

cm

Atenție la test

Greșeli frecvente la teorema lui Pitagora

✕

Aduni pătratele a două laturi oarecare, fără să verifici unde e unghiul drept.

✓

Găsește întâi unghiul drept. Latura din fața lui e ipotenuza și stă singură într-un membru: $c^2=a^2+b^2$ .

✕

Aduni laturile în loc de pătratele lor: $c=a+b$ .

✓

Aduni pătratele catetelor: $3^2+4^2=9+16=25$ , iar $25=5^2$ , deci $c=5$ , nu $3+4=7$ .

✕

Te oprești la $AC^2=25$ și scrii răspunsul $25$ .

✓

La final cauți numărul al cărui pătrat este $25$ : $5^2=25$ , deci $AC=5\text{ cm}$ .

✕

Aplici „jumătate din ipotenuză” pentru cateta alăturată unghiului de 30°.

✓

Doar cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză. Desenează și marchează unghiul.

Verifică-te

Testează-te în 30 de secunde

1. Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm și 8 cm. Cât este ipotenuza?

a) 14 cmb) 10 cmc) 48 cm

Vezi răspunsul

b) 10 cm. $6^2+8^2=36+64=100$ , iar $100=10^2$ , deci ipotenuza are $10\text{ cm}$ .

2. Ipotenuza are 18 cm și un unghi ascuțit are 30°. Cât este cateta opusă lui?

a) 9 cmb) 36 cmc) 6 cm

Vezi răspunsul

a) 9 cm. Cateta opusă unghiului de 30° este $\tfrac{18}{2}=9\text{ cm}$ .

3. Într-un triunghi dreptunghic ipotenuza are 14 cm. Cât este mediana dusă din unghiul drept?

a) 14 cmb) 28 cmc) 7 cm

Vezi răspunsul

c) 7 cm. Mediana corespunzătoare ipotenuzei este $\tfrac{14}{2}=7\text{ cm}$ .

Rezumat

De reținut

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este cea mai lungă latură.
Teorema lui Pitagora: $\text{ipotenuza}^2=\text{cateta}_1^{\,2}+\text{cateta}_2^{\,2}$ .
Reciproca: dacă $c^2=a^2+b^2$ , triunghiul este dreptunghic.
Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.
Mediana dusă din unghiul drept este jumătate din ipotenuză și este egală cu raza cercului circumscris.

Întrebări

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Pitagora?

În orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei:

a^2+b^2=c^2

.

În ce clasă se învață teorema lui Pitagora?

Teorema lui Pitagora apare prima dată în clasa a VI-a, la capitolul „Triunghiul”, la triunghiurile particulare. În clasa a VII-a se reia și se aprofundează la „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”.

Cum afli ipotenuza dacă știi catetele?

Ridici catetele la pătrat, le aduni, apoi cauți numărul care, ridicat la pătrat, dă suma. Exemplu: pentru catetele 5 și 12,

5^2+12^2=25+144=169

, iar

169=13^2

, deci ipotenuza este

13

.

Cum afli o catetă dacă știi ipotenuza și cealaltă catetă?

Scazi din pătratul ipotenuzei pătratul catetei cunoscute, apoi cauți numărul care, ridicat la pătrat, dă rezultatul. Exemplu: pentru ipotenuza 10 și cateta 6,

10^2-6^2=100-36=64

, iar

64=8^2

, deci cateta este

8

.

Ce este reciproca teoremei lui Pitagora?

Dacă pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic. Se folosește pentru a demonstra că un unghi are 90°.

Care este formula unghiului de 30 de grade?

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză:

\text{cateta opusă}=\dfrac{\text{ipotenuza}}{2}

.

Cât este mediana dusă pe ipotenuză?

Exact jumătate din ipotenuză:

AM=\dfrac{BC}{2}

. Motivul: ipotenuza este diametrul cercului circumscris, iar mediana este o rază.

Triunghiuri particulare - triunghiul dreptunghic - Teorema lui Pitagora

Documente

Ce este un triunghi dreptunghic

Catetele

Ipotenuza

Teorema lui Pitagora: enunț și formulă

Cum o folosești

Triplete pitagoreice de reținut

Teorema unghiului de 30° (cateta opusă unghiului de 30°)

Teorema medianei în triunghiul dreptunghic

De ce este adevărat?

Exercițiu rezolvat pas cu pas

Calculator: teorema lui Pitagora

Greșeli frecvente la teorema lui Pitagora

Testează-te în 30 de secunde

De reținut

Întrebări frecvente