Sume de tip Gauss
Descrierea lecției
Sume de tip Gauss – formula lui Gauss și exerciții rezolvate (clasa a V-a) În această lecție de matematică pentru clasa a V-a înveți formula lui Gauss: 1 + 2 + 3 + … + n = n · (n + 1) : 2. O aplici pe două exerciții rezolvate, 1 + 2 + … + 60 = 1830 și 4 + 5 + … + 100 = 5044, și afli cum recunoști o sumă de tip Gauss după saltul dintre termeni. CLASA ȘI MATERIA Matematică, clasa a V-a. Capitolul: Operații cu numere naturale. Lecția: Sume de tip Gauss. CE VEI ÎNVĂȚA - Formula lui Gauss pentru suma numerelor naturale consecutive de la 1 la n. - Cum aplici formula pe o sumă care începe de la 1. - Cum faci mai ușor calculul n · (n + 1) : 2. - Ce faci când suma are numere consecutive, dar nu începe de la 1. - Cum recunoști o sumă de tip Gauss și cum îi afli saltul. - Ce metode există pentru sumele cu termeni din 2 în 2, din 3 în 3 sau din 5 în 5. REZUMATUL LECȚIEI În această lecție afli ce este formula lui Gauss și cum recunoști o sumă de tip Gauss. Formula lui Gauss îți dă suma numerelor naturale consecutive de la 1 până la n: 1 + 2 + 3 + … + n = n · (n + 1) : 2. Condiția este ca suma să înceapă de la 1 și numerele să fie consecutive. Primul exercițiu este 1 + 2 + 3 + … + 60. Aici n = 60, deci suma este 60 · 61 : 2. Nu e nevoie să înmulțești întâi 60 cu 61 și apoi să împarți rezultatul la 2. Într-un produs împărțit la un număr poți împărți mai întâi factorul care se împarte ușor: 60 : 2 = 30, apoi 30 · 61 = 1830. Al doilea exercițiu este 4 + 5 + 6 + … + 100. Numerele sunt consecutive, dar suma nu începe de la 1: lipsesc termenii 1, 2 și 3. Îi adaugi ca să poți aplica formula, apoi îi scazi la final: 100 · 101 : 2 − 1 − 2 − 3 = 5050 − 6 = 5044. Când termenii nu mai sunt consecutivi, formula nu se mai poate aplica direct. O sumă de tip Gauss se recunoaște după forma termenilor: de la un termen la următorul se adaugă mereu același număr, numit salt. Termenii pot merge din 2 în 2, din 3 în 3, din 5 în 5 sau din 10 în 10. De exemplu, în suma 16 + 21 + 26 + … saltul este 5, iar în suma 1 + 4 + 7 + … saltul este 3, deci următorul termen este 10. Trebuie să verifici singur, la fiecare exercițiu, dacă saltul este același. Pentru aceste sume există trei metode de calcul: un artificiu de calcul, scoaterea factorului comun și folosirea formulelor. Fiecare este explicată într-o lecție video separată, iar la final o alegi pe cea care ți se pare mai simplă. FORMULA LUI GAUSS ȘI REGULI DE CALCUL - Formula lui Gauss: 1 + 2 + 3 + … + n = n · (n + 1) : 2 - Calcul mai ușor: (a · b) : c = (a : c) · b, când a se împarte exact la c - Salt = numărul pe care îl aduni la un termen ca să îl obții pe următorul EXEMPLU REZOLVAT: 1 + 2 + 3 + … + 60 1. Suma începe de la 1 și are numere consecutive, deci aplici formula lui Gauss cu n = 60. 2. Scrii: 60 · (60 + 1) : 2 = 60 · 61 : 2. 3. Împarți mai întâi 60 la 2: 60 : 2 = 30. 4. Înmulțești: 30 · 61 = 1830. ÎNTREBĂRI FRECVENTE Care este formula lui Gauss? Suma numerelor naturale consecutive de la 1 până la n este n · (n + 1) : 2. De exemplu, 1 + 2 + 3 + … + 60 = 60 · 61 : 2 = 1830. Cum recunoști o sumă de tip Gauss? Termenii cresc mereu cu același număr, numit salt: din 2 în 2, din 3 în 3, din 5 în 5 și așa mai departe. De exemplu, 16 + 21 + 26 + … este o sumă de tip Gauss cu saltul 5. Cum calculezi o sumă de numere consecutive care nu începe de la 1? Adaugi termenii care lipsesc de la început, aplici formula lui Gauss și apoi scazi termenii adăugați. De exemplu, 4 + 5 + … + 100 = 100 · 101 : 2 − 1 − 2 − 3 = 5044.